Les nombres: invention ou réalité ?0
Les mathématiques sont-elles des créations de l’esprit humain ? Ou bien, est-ce le langage caché de la nature ? Retraçons ensemble l’histoire des mathématiques et notamment les différentes classes de nombre.
Les Nombres entiers
On note N l’ensemble des entiers naturels.
« N= {0,1,2,3,4,5,6,…} »
Dans l’histoire de l’humanité, ce sont les premiers nombres qui apparaissent. Pourquoi ? Parce que ce sont les plus simples. Les hommes préhistoriques ont rapidement compris qu’il pouvait y avoir 1 mammouth, ou 2 mammouths ou 3 mammouths. A l’époque, ils voyaient rarement passer un huitième de mammouth ou (-4) mammouths ou √(mammouth). Les entiers naturels servent à dénombrer les éléments d’un ensemble fini.
Un vieux système (repris en maternelle de nos jours) consiste à prendre un paquet de cailloux. Si vous avez besoin de compter les bêtes de votre troupeau par exemple. Vous mettez un caillou pour chaque bête dans votre sac. Un caillou pour une bête. Ainsi vous savez précisément combien vous avez de bêtes. De retour à la grange, vous jetez un caillou pour chaque bête récupérée et vous voyez si ça correspond.
Après les cailloux on s’est dit qu’on pourrait tracer un trait pour indiquer chaque unité. Nous avons créé les premiers systèmes de numération. Puis chaque civilisation a créé son système avec ses codes. Quel est le code européen ?
Nous avons repris les chiffres arabes : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
Nous utilisons un système décimal de position. Décimal parce que nous utilisons 10 chiffres différents (voir ci-dessus). « De position » parce que la position d’un chiffre dans un nombre fait varier sa valeur.
Ex : 2 en tant que chiffre des unités dans « 572 » vaut 2.
2 en tant que chiffre des centaines dans « 283 » vaut 200.
Les nombres relatifs
On appelle Z l’ensemble des nombres entiers relatifs. Cet ensemble est composé de tous les nombres de N et de leurs opposés.
Z = {…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}
Certes, nous n’avons jamais croisé (-3) mammouths mais nous utilisons les nombres relatifs pour différents usages. Pour mesurer la température, il n’est pas rare de dire qu’il fait « moins cinq ». Idem pour des dates importantes : nous sommes à J moins cinq des jeux olympiques.
Pourquoi les fractions ?
Imaginez que vous soyez un paysan dans l’Egypte Antique. Vous essayez de mesurer les limites de votre lopin de terre. Vous prenez une corde et vous commencez à la mettre par terre Vous recommencez et au bout d’un moment vous constater que la distance que vous vouliez mesurer correspond à vingt fois votre bout de corde.
Maintenant imaginons que la distance à mesurer ne correspond pas exactement. Vous savez que la distance fait plus de dix-neuf fois votre corde mais moins que vingt. Que faut-il inscrire sur le registre ? Essayez de replier votre corde. Vous repliez en deux parties égales et vous mesurez le bout restant. Cela fonctionne. Vous savez que la distance à mesurer correspond à dix-neuf fois et demi votre corde.
Dès l’Antiquité, nous avons pu utiliser les fractions. Repliez votre corde en quatre morceaux égaux et vous obtenez un quart de corde.
Les nombres décimaux
On appelle D l’ensemble des nombres décimaux.
Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est une puissance positive (ou nulle) de 10.
Exemples :
8/100, 458/1000 et 2 sont des fractions décimales.
100=10² donc cela fonctionne. 1000=10³. Enfin 2=2/1 et 1=〖10〗^0.
Un nombre est décimal s’il peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale.
Les nombres rationnels
L’ensemble des nombres rationnels est noté Q.
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction a/b.
2 appartient à Q puisque 2= 2/1.
(-3) appartient à Q puisque (-3) = (-3)/1.
4,5 appartient à Q puisque 4,5= 45/10.
5/7 appartient à Q puisque c’est une fraction.
Les nombres réels
Pour arriver à constituer la classe des nombres réels il faudra ajouter les nombres rationnels et les irrationnels. « Nombres irrationnels ». Voici un titre bien étrange. Les nombres ne sont-ils pas des productions de l’esprit « rationnel » ?
Il existe des nombres qui ne sont pas le quotient de deux nombres entiers, ils ne peuvent s’écrire sous la forme d’une fraction.
Exemple : le nombre √2
Historiquement ce nombre a posé problème. Revenez au temps de l’Antiquité. Vous tracez un côté qui mesure 1m de côté. Combien mesure la diagonale du carré ? Vous connaissez déjà la formule : la diagonale d’un carré mesure la longueur du côté multipliée par √2. Mais ce résultat est dérangeant. Ce nombre semble infini. Avez-vous déjà réussi à écrire ce nombre, avec toutes les décimales ?
Ce nombre semble « irrationnel » pourtant il existe.
Idem pour π! Pouvez-vous écrire ce nombre intégralement ? Non. Pourtant nous savons qu’il existe puisque nous l’utilisons pour calculer la circonférence et l’aire d’un disque.
Les nombres complexes
Pour finir il existe une dernière classe qui englobe les précédentes : la classe des nombres complexes.
Tout le monde se souvient que 2²=4 et (-2)²=4. Jusque-là un nombre élevé au carré devenait forcément positif, mais nous inventons le nombre i tel que i²= -1.
Les nombres 3+2i ou 897+17i sont des nombres complexes.
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